Определение принадлежности точек одной плоскости по расстояниям между ними
1,00
р.
Имеем 4 точки в пространстве. Известны расстояния между каждой парой из этих точек.
Как определить принадлежат ли эти 4 точки одной плоскости?
Есть ли аналогичный алгоритм для любого количества точек?
Ответ
Все четыре точки (A, B, C и D) будут лежать в одной плоскости тогда и только тогда, когда объем тетраэдра с вершинами в этих четырех точках будет равен 0. Так что все, что нам нужно - это уметь вычислять объем тетраэдра по длинам его сторон.
Это можно сделать через определитель Кэли-Менгера
| 0 1 1 1 1 | | 1 0 d2(A,B) d2(A,C) d2(A,D) | V = sqrt ( | 1 d2(A,B) 0 d2(B,C) d2(B,D) | / 288 ) | 1 d2(A,C) d2(B,C) 0 d2(C,D) | | 1 d2(A,D) d2(B,D) d2(C,D) 0 |
где d2(A, B) - квадраты соответствующих длин сторон.
Это фактически трехмерная версия известной формулы Герона для площади треугольника.
В качестве более "осязаемого"/"конструктивного" решения задачи можно предложить рассмотреть треугольники ABC и ABD. Если эти треугольники лежат в одной плоскости, то расстояние CD может равняться только одному из двух значений: одно значение расстояния для ситуации, когда С и D лежат по одну сторону от AB, другое - когда С и D лежат по разные стороны от AB.
Не составит труда построить треугольники ABC и ABD на плоскости (например, положив точку A в начало координат, а точку B на ось абсцисс), вычислить конкретные координаты точек C и D и узнать искомые расстояния для планарного случая. После этого остается лишь сравнить найденные расстояния с данным в условии расстоянием CD.
Вопрос о большем количестве точек не совсем понятен. Речь идет об N точек в N-1-мерном пространстве? Или речь идет об N точек в трехмерном пространстве? В последнем случае задача сводится просто к применению одного из вышеприведенных решений к четверкам точек среди данных N. Лучше всего, наверное, действовать иерархически: проверить на планарность независимые четверки, а затем уже проверять планарность между четверками.
Как определить принадлежат ли эти 4 точки одной плоскости?
Есть ли аналогичный алгоритм для любого количества точек?
Ответ
Все четыре точки (A, B, C и D) будут лежать в одной плоскости тогда и только тогда, когда объем тетраэдра с вершинами в этих четырех точках будет равен 0. Так что все, что нам нужно - это уметь вычислять объем тетраэдра по длинам его сторон.
Это можно сделать через определитель Кэли-Менгера
| 0 1 1 1 1 | | 1 0 d2(A,B) d2(A,C) d2(A,D) | V = sqrt ( | 1 d2(A,B) 0 d2(B,C) d2(B,D) | / 288 ) | 1 d2(A,C) d2(B,C) 0 d2(C,D) | | 1 d2(A,D) d2(B,D) d2(C,D) 0 |
где d2(A, B) - квадраты соответствующих длин сторон.
Это фактически трехмерная версия известной формулы Герона для площади треугольника.
В качестве более "осязаемого"/"конструктивного" решения задачи можно предложить рассмотреть треугольники ABC и ABD. Если эти треугольники лежат в одной плоскости, то расстояние CD может равняться только одному из двух значений: одно значение расстояния для ситуации, когда С и D лежат по одну сторону от AB, другое - когда С и D лежат по разные стороны от AB.
Не составит труда построить треугольники ABC и ABD на плоскости (например, положив точку A в начало координат, а точку B на ось абсцисс), вычислить конкретные координаты точек C и D и узнать искомые расстояния для планарного случая. После этого остается лишь сравнить найденные расстояния с данным в условии расстоянием CD.
Вопрос о большем количестве точек не совсем понятен. Речь идет об N точек в N-1-мерном пространстве? Или речь идет об N точек в трехмерном пространстве? В последнем случае задача сводится просто к применению одного из вышеприведенных решений к четверкам точек среди данных N. Лучше всего, наверное, действовать иерархически: проверить на планарность независимые четверки, а затем уже проверять планарность между четверками.
